В 2010 году представитель Буркина-Фасо отверг предложение «Манчестер Юнайтед», чтобы присоединиться к академии «Челси». Совсем юный футболист начал свой путь к основному составу «синих».
Бертран Траоре отличается хорошими физическими данными и внушительным ростом, благодаря которому, впоследствии игрок переквалифицировался из вингера в классическую «девятку». Когда Траоре получил разрешение на работу и сумел достаточно окрепнуть, клуб предложил футболисту вариант с арендой в «Витесс». Конечно же, Бертрана такое предложение устроило, поскольку совсем «зеленый» игрок хотел почувствовать вкус футбола на взрослом уровне.
Траоре был успешен в составе «желто-черных»: в период с 2014 по 2015 год футболист в 42 матчах сумел отличиться 16 раз, чем впечатлил руководство «Челси». Было принято решение оставить Траоре в составе «синих» на сезон 2015/2016 в качестве резервного нападающего.
В 10 матчах чемпионата Англии 2015/16 Траоре отметился 2 забитыми голами и отдал голевую передачу.