Бегович, без сомнений, обладает большим талантом и опытом выступлений в чемпионате Англии. Футболист перебрался на Туманный Альбион еще в 2005 году, подписав соглашение с «Портсмутом». За 5 лет пребывания на «Фраттон Парк» Асмир успел побывать в арендах во многих командах низших дивизионов, но позднее, окрепнув, Бегович стал незаменимым кадром в «Сток Сити».
Боснийский голкипер был призван заменить в «Челси» ушедшего в «Арсенал» Петра Чеха. Лондонцы объявили о подписании Беговича летом 2015 года, как потенциального игрока ротации для Тибо Куртуа.
Босниец признался, что пополнил ряды «синих» в надежде побороться за основной состав и в скором времени Бегович получил свой шанс. Серьезная травма выбила Куртуа из основного состава на несколько недель, а Асмир получил возможность занять место в воротах «Челси».
К сожалению, сезон 2015/2016 выдался для Беговича не лучшим образом, как и для всего клуба, а лондонцы закончили сезон вне первой четверки.
